ધારો કે $\omega $ એક એવી સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $2\omega + 1 = z$ જયાં $z = \sqrt { – 3} $ . જો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ – {\omega ^2} – 1}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^7}}\end{array}} \right| = 3k$ હોય,તો $k$ મેળવો. .

જો સમીકરણની સંહતિ ${(\alpha + 1)^3}x + {(\alpha + 2)^3}y – {(\alpha + 3)^3} = 0$ અને $(\alpha + 1)x + (\alpha + 2)y – (\alpha + 3) = 0,x + y – 1 = 0$ એ અચળ હોય તો $\alpha $  ની કિમત મેળવો.

$\Delta ABC$ માં , જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&b\\1&c&a\\1&b&c\end{array}\,} \right| = 0$, તો ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = $

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{bc}&{bc' + b'c}&{b'c'}\\{ca}&{ca' + c'a}&{c'a'}\\{ab}&{ab' + a'b}&{a'b'}\end{array}\,} \right|$ = . . .

ધારો કે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $x +2 y + z =2$, $\alpha x +3 y – z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha$ સુસંગત નથી.તો $\alpha=\dots\dots\dots\dots$